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《數(shù)學(xué)雜志》2015年第六期

摘要:

本文研究了棱形六面體經(jīng)兩兩面面疊合后所能得到幾何體.利用流形判別和基本群計(jì)算的基本方法,獲得了在可能疊合到的476種幾何體中,有409種不是流形,而在是流形的情形時(shí),其基本群包括1,Z,Z2,Z3,Z5,Z7,Z8以及5種只能用關(guān)系表示的群.

關(guān)鍵詞:

三維流形;基本群;棱形六面體疊合

1引言

就三維流形的構(gòu)作而言,到目前為止,已有許多頗為有效的方法,如利用Heeggard圖式,Dehn手術(shù)以及紐結(jié)理論等,近年來應(yīng)用雙曲幾何的方法來討論三維流形也逐漸形成趨勢(shì),成為研究三維流形不可或缺的重要方法(見文獻(xiàn)[1–3]）.在對(duì)曲面進(jìn)行分類過程中,許多好的曲面如球面,環(huán)面,Klein瓶等都可用一矩形面片經(jīng)過邊的兩兩疊合而得到,這啟發(fā)我們想到能否對(duì)空間中的體經(jīng)過類似的線疊合和面疊合而得到三維流形.本文試圖對(duì)體的一種簡(jiǎn)單模型――棱形六面體,經(jīng)過面面、線線疊合得到的多面體進(jìn)行研究,這種疊合的種類共476種.在文獻(xiàn)[4]中,有關(guān)于該情況下判斷多面體是否是流形以及如何計(jì)算其基本群的方法.在文獻(xiàn)[5]中,可見到關(guān)于經(jīng)四面體疊合的多面體的基本群的結(jié)論,但計(jì)算方法卻沒有給出,本人曾對(duì)這個(gè)模型進(jìn)行了詳盡計(jì)算,得到了與之相同的結(jié)論（見文獻(xiàn)[6]）,而在此基礎(chǔ)上對(duì)另一種模型的研究,則是本文的主要內(nèi)容.

2基本結(jié)論

引理2.1[4]設(shè)M是由成對(duì)地疊合一個(gè)多面體的面而成的復(fù)合形,則M是流形的充要條件是它的示性數(shù)為0.注疊合時(shí)若有公共棱,則定向的棱與它的定向的反向不能相互疊合,因?yàn)榇藭r(shí)其中間點(diǎn)找不到與之疊合的其它點(diǎn),這樣疊合而成的多面體不是流形.以下回到本文討論的重點(diǎn):如圖2,給定棱形六面體,經(jīng)兩兩對(duì)折后變成一復(fù)合形M,將討論:1)M是否為流形;2)若M是流形,其基本群為何者.規(guī)定,前面上下面分別為①②,后右側(cè)上下面分別為③④,后左側(cè)上下面分別為⑤⑥,再規(guī)定,頂點(diǎn)1,2,3,4,5如圖2,各條棱a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9也如圖2.疊合后幾何體M的零維Betti數(shù)恰為頂點(diǎn)的個(gè)數(shù),以下簡(jiǎn)寫為“0維”,一維Betti數(shù)為疊合后邊的個(gè)數(shù),簡(jiǎn)寫為“1維”,二維Betti數(shù)位疊合后面的個(gè)數(shù),簡(jiǎn)寫為“2維”,三維Betti數(shù)位復(fù)合形的個(gè)數(shù)1,記為“3維”.現(xiàn)將六個(gè)面兩兩對(duì)折,使得頂點(diǎn)與頂點(diǎn)重合,邊線與邊線重合,這時(shí)中間的面將相應(yīng)重合,如①②對(duì)折,有五種折法。

3棱形六面體的兩兩面疊合

總體而言,從折法上看,可以分成五類情況:分別為折法一,①②對(duì)折,③④對(duì)折,⑤⑥對(duì)折;折法二,①②對(duì)折,③⑥對(duì)折,④⑤對(duì)折;折法三,①②對(duì)折,③⑤對(duì)折,④⑥對(duì)折;折法四,①④對(duì)折,③⑥對(duì)折,⑤②對(duì)折;折法五,①③對(duì)折,④⑥對(duì)折,⑤②對(duì)折.限于篇幅,本文無(wú)法對(duì)476種情形一一闡述,僅將上述5種折法中的典型情形各舉一個(gè)例,并把得到的結(jié)果以表格的形式給出(見表1–5).總之,將本節(jié)所得各結(jié)論綜合,棱形六面體經(jīng)過兩兩面疊合后,在同胚的意義下,總計(jì)476種疊法中,可以得到為數(shù)不多的幾種情形,其基本群包括1,Z,Z2,Z3,Z5,Z7,Z8以及只能用關(guān)系表示的群。

參考文獻(xiàn)

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作者：王建軍 單位：淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院